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Definizione Progressione geometrica (PG)

Che cos'è la progressione geometrica (PG):

È una sequenza numerica in cui ogni termine, dal secondo, è il risultato della moltiplicazione del termine precedente da una costante q, denominata come rapporto di PG.

Esempio di progressione geometrica

La sequenza numerica (5, 25, 125, 625 ...) è un PG in crescita, dove q = 5. Cioè, ogni termine di questo PG, moltiplicato per il suo rapporto ( q = 5), ha come risultato il seguente termine.

Formula per trovare il rapporto (q) di un PG

All'interno del Crescent PG (2, 6, 18, 54 ...) c'è una costante ( q ) costante ma sconosciuta. Per scoprirlo, bisogna considerare i termini del PG, dove: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an), applicandoli nella seguente formula:

q = a 2 / a 1

Quindi, per trovare la ragione di questo PG, la formula sarà sviluppata come segue: q = a 2 / a 3 = 6/2 = 3.

Il rapporto ( q ) del PG sopra riportato è 3.

Poiché il rapporto di un PG è costante, cioè comune a tutti i termini, possiamo elaborare la sua formula con termini diversi, ma dividerlo sempre con il suo predecessore. Ricordando che il rapporto di un PG può essere qualsiasi numero razionale, escludendo zero (0).

Esempio: q = a 4 / a 3, che all'interno del PG sopra risulta anche in q = 3.

Formula per trovare il termine generale PG

C'è una formula di base per trovare qualsiasi termine in un PG. Nel caso di PG (2, 6, 18, 54, un n ...), ad esempio, dove n che può essere chiamato come quinto o ennesimo termine, o 5, è ancora sconosciuto. Per trovare questo o altri termini, viene utilizzata la formula generale:

a n = a m ( q ) nm

Esempio pratico - Formula del termine generale di PG sviluppato

È noto che :

a n c'è un termine sconosciuto da trovare;

a m è il primo termine di PG (o qualsiasi altro, se il primo termine non esiste);

q è il rapporto di PG;

Pertanto, in PG (2, 6, 18, 54, un n ...) dove si cerca il quinto termine (a 5 ), la formula sarà sviluppata nel modo seguente:

a n = a m ( q ) nm

a 5 = 1 (q) 5-1

a 5 = 2 (3) 4

a 5 = 2, 81

a 5 = 162

Quindi, si trova che il quinto termine (a 5 ) di PG (2, 6, 18, 54, un n ...) è = 162.

Vale la pena ricordare che è importante scoprire il motivo per cui un PG trova un termine sconosciuto. Nel caso di PG sopra, ad esempio, il rapporto era già noto come 3.

Le classificazioni di progressione geometrica

Crescente progressione geometrica

Affinché un PG venga considerato crescente, il suo rapporto sarà sempre positivo e i suoi termini crescenti, cioè aumentando all'interno della sequenza numerica.

Esempio: (1, 4, 16, 64 ...), dove q = 4

Nel PG ascendente con termini positivi, q > 1 e con i termini negativi 0 < q <1.

Progressione decrescente geometrica

Affinché un PG venga considerato decrescente, il suo rapporto sarà sempre positivo e diverso da zero e i suoi termini diminuiranno all'interno della sequenza numerica, cioè diminuiranno.

Esempi: (200, 100, 50 ...), dove q = 1/2

Nel PG decrescente con termini positivi, 0 < q <1 e con termini negativi, q > 1.

Progressione geometrica oscillante

Affinché un PG sia considerato oscillante, il suo rapporto sarà sempre negativo ( q <0) e i suoi termini si alternano tra negativo e positivo.

Esempio: (-3, 6, -12, 24, ...), dove q = -2

Progressione geometrica costante

Perché un PG sia considerato costante o stazionario, il suo rapporto sarà sempre uguale a uno ( q = 1).

Esempio: (2, 2, 2, 2 ...), dove q = 1.

Differenza tra progressione aritmetica e progressione geometrica

Come il PG, anche la BP è costituita da una sequenza numerica. Tuttavia, i termini di un PA sono il risultato della somma di ogni termine con il rapporto ( r ), mentre i termini di un PG, come esemplificato sopra, sono il risultato della moltiplicazione di ogni termine per il suo rapporto ( q ) .

esempio:

In PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) il rapporto ( r ) è 2. Cioè, il primo termine aggiunto a r 2 risulta nel termine successivo e così via.

In PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) il rapporto ( q ) è anche 2. Ma in questo caso il termine è moltiplicato per q 2, risultante nel termine successivo e così via.

Vedi anche il significato della progressione aritmetica.

Significato pratico di un PG: dove può essere applicato?

La progressione geometrica consente l'analisi del declino o della crescita di qualcosa. In termini pratici, il PG consente di analizzare, ad esempio, le variazioni termiche, la crescita della popolazione, tra gli altri tipi di verifiche presenti nella nostra vita quotidiana.

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