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Definizione Tabella della verità

Cos'è la tabella della verità:

La tabella della verità o la tabella della verità è uno strumento matematico ampiamente utilizzato nel campo del ragionamento logico. Il suo scopo è verificare la validità logica di una proposizione composta (argomento formato da due o più proposizioni semplici).

Esempi di proposizioni composte:

  • John è alto e Maria è bassa.
  • Pedro è alto o Joana è bionda.
  • Se Pedro è alto, allora Joana è rossa.

Ciascuna delle proposizioni composte sopra è formata da due semplici proposizioni unite dai connettivi in ​​grassetto. Ogni proposizione semplice può essere vera o falsa e ciò implicherà direttamente il valore logico della proposizione composta. Se adottiamo la frase " John è alto e Maria è bassa " , le possibili valutazioni di questa affermazione saranno:

  • Se John è alto e Mary è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è VERO.
  • Se John è alto e Mary non è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è FALSO.
  • Se John non è alto e Mary è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è FALSO.
  • Se John non è alto e Mary non è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è FALSO.

La tabella di verità schematizza questo stesso ragionamento (vedi l'argomento Congiunzione sotto) più direttamente. Inoltre, le regole della tabella di verità possono essere applicate indipendentemente dal numero di proposizioni nella frase .

Come funziona?

Per prima cosa, trasforma le proposizioni della domanda in simboli usati nella logica. L'elenco dei simboli universalmente utilizzato è:

simboloOperazione logicasensoesempio
p.Proposta 1p = John è alto.
q.Proposta 2q = Maria è bassa.
~negazionenon farloSe John è alto, " ~ p " è FALSE.
^congiunzioneep ^ q = John è alto e Mary è bassa.
vdisgiunzioneop v q = John è alto o Maria è bassa.
condizionalese è cosìp q = Se John è alto, Mary è in basso.
bicondizionalese e solo sep q = John è alto se e solo se Mary è bassa.

Successivamente, viene presentata una tabella con tutte le possibilità di valutazione di una proposizione composta, sostituendo le affermazioni con simboli. Vale la pena di chiarire che nei casi in cui ci sono più di due proposizioni, possono essere simboleggiate dalle lettere r, s, e così via.

Infine, viene applicata l'operazione logica definita dal connettivo mostrato. Secondo la lista sopra, queste operazioni possono essere: negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.

negazione

La negazione è simboleggiata da ~. L'operazione logica di negazione è la più semplice e spesso dispensa l'uso della tabella di verità. Seguendo lo stesso esempio, se John è alto (p) per dire che John non è alto (~ p) è FALSE e viceversa.

congiunzione

La congiunzione è simboleggiata da ^ . L'esempio "Giovanni è alto e Maria è basso" sarà simboleggiato da "p ^ q" e la tabella di verità sarà:

La congiunzione suggerisce un'idea di accumulazione, quindi se una delle proposizioni semplici è falsa, è impossibile che la proposizione composta sia vera.

Conclusione : le proposizioni composite congiuntive (contenenti il ​​connettivo e ) saranno vere solo quando tutti i loro elementi sono veri.

esempio:

  • Paulo, Renato e Tulio sono gentili e Caroline è divertente. - Se Paulo, Renato o Tulio non sono gentili o Carolina non è divertente, la proposta sarà FALSE. È necessario che tutte le informazioni siano vere in modo che la proposizione composta sia VERA.

disgiunzione

La disgiunzione è simboleggiata da v . Scambiando il connettivo dell'esempio sopra o avremo "John è alto o Maria è bassa". In questo caso, la frase sarà simboleggiata da "p v q" e la tabella di verità sarà:

La disgiunzione implica un'idea di alternanza, quindi è sufficiente che una delle proposizioni semplici sia vera in modo che anche il composto sia.

Conclusione : proposizioni composte disgiuntive (contenenti il o connettivo) saranno false solo quando tutti i loro elementi sono falsi.

esempio:

  • Mia madre, mio ​​padre o mio zio mi daranno un regalo. - Affinché l'affermazione sia VERA, è sufficiente che solo uno tra la madre, il padre o lo zio dia il regalo. La proposizione sarà FALSE solo se nessuno di loro lo darà.

condizionale

Il condizionale è simboleggiato da →. È espresso dai connettivi stessi e quindi, che interconnettono le proposizioni semplici in una relazione causale. L'esempio "Se Paulo è Carioca, allora è brasiliano" diventa "p q" e la tabella di verità sarà:

I condizionali hanno un antecedente e una proposizione consequenziale , separati poi dal connettivo. Nell'analisi dei condizionali, è necessario valutare i casi in cui la proposizione può essere possibile, considerando la relazione di implicazione tra antecedente e conseguente.

Conclusione : le proposizioni composizionali condizionali (contenenti i connettivi se e solo) saranno false solo se la prima proposizione è vera e la seconda proposizione falsa.

esempio:

  • Se Paulo è un Carioca, allora è brasiliano. - Affinché questa proposta sia considerata VERO, è necessario valutare i casi in cui è POSSIBILE. Secondo la tabella di verità sopra, abbiamo:
  1. Paulo è brasiliano / Paulo è brasiliano = POSSIBILE
  2. Paulo è carioca / Paulo non è brasiliano = IMPOSSIBILE
  3. Paulo non è di Carioca / Paulo è brasiliano = POSSIBILE
  4. Paulo non è un Carioca / Paulo non è un brasiliano = POSSIBILE

bicondizionale

Il bicondizionale è simboleggiato da ↔. Viene letto attraverso i connettivi se e solo se interconnettono le proposizioni semplici in una relazione di equivalenza. L'esempio "John è felice se e solo se Maria sorride". diventa "p q" e la tabella di verità sarà:

Il bicondizionale suggerisce un'idea di interdipendenza. Come dimostra il nome stesso, il bicondizionale è composto da due condizionali: uno che parte da p a q (p q) e un altro nella direzione opposta (q p).

Conclusione : le proposizioni composte bicondizionali (contenenti i connettivi se e solo se ) saranno vere solo quando tutte le proposizioni sono vere o tutte le proposizioni sono false.

esempio:

  • John è felice se e solo se Maria sorride. - Significa che:
  1. Se John è felice, Maria sorride e se Maria sorride, John è felice = VERO
  2. Se João non è felice, Maria non sorride e se Maria non sorride, João non è felice = VERO
  3. Se John è felice, Mary non sorride = FALSO
  4. Se John non è felice, Maria sorride = FALSO

Panoramica generale

È comune per gli studiosi della tabella di verità memorizzare le conclusioni di ciascuna delle operazioni logiche. Per risparmiare tempo sulla risoluzione dei problemi, tieni sempre presente che:

  1. Proposizioni Congiuntive: saranno vere solo quando tutti gli elementi sono veri.
  2. Proposte disgiuntive: saranno false solo quando tutti gli elementi sono falsi.
  3. Proposte condizionali: saranno false solo se la prima proposizione è vera e la seconda falsa.
  4. Proposte Bicondicionali: saranno vere solo quando tutti gli elementi sono veri o tutti gli elementi sono falsi.

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